有时候我们需要判断一个元素是否在一个集合中。比如，在字处理软件中，需要检查一个单词是否拼写正确(也就是要判断它是否在已知的字典里)；在警察系统中，一个嫌疑人的名字是否出现在嫌疑名单上；在网络爬虫里，一个网址是否已经被访问过，等等。

最直接的方法就是讲集合中的元素存在计算机中，遇到一个新元素时，将它和集合中的元素直接比较即可。一般来讲，计算机中的集合是用哈希表(Hash Table)来存储的。它的好处是快速准确，缺点是耗费存储空间。

为什么说耗费存储空间呢？其根本原因是哈希表方法需要把实实在在的具有特定长度(每个Email地址对应成一个8字节的信息指纹)的元素的信息指纹存储在内存或硬盘中的哈希表中，这个存储量在实际应用中一般是相当大的。比如每存储一亿个Email地址，需要0.8G大小的数字指纹存储空间，考虑到哈希表的存储空间利用率一般只有一半，所以需要1.6G的存储空间。如果存储几十亿上百亿的Email地址，那就需要百亿字节的内存存储空间。

而布隆过滤器只需要哈希表1/8到1/4的大小就能解决同样的问题，它实际上是一个很长的二进制向量和一系列的随机映射函数。

下面以WEB页面地址的存储为例来说明布隆过滤器的工作原理。

假定存储一亿个WEB页面地址，先建立一个16亿二进制(比特)，即2亿字节的向量，然后将这16亿个二进制位清零。对于每一个WEB页面地址X，用8个随机数产生器(f1,f2,...,f8)。再用一个随机数产生器G把这8个信息指纹映射到1-16亿中的8个自然数g1,g2,...g8。现在把这8个位置的二进制位都置为1。对着一亿个WEB页面地址都进行这样的处理后，一个针对WEB页面的布隆过滤器就建成了，见下图。

图1 布隆迪过滤器的映射方法

现在，让我们看看如何用布隆过滤器来检测一个WEB网页地址Y是否已经被我们收录。用相同的8个随机数生成器(f1,f2,...,f8)对这个WEB网页地址产生8个信息指纹s1,s2,...s8，然后将这8个指纹对应到布隆过滤器的8个二进制位，分别是t1,t2,...,t8。如果Y已被收录，显然t1,t2,...,t8对应的8个二进制位一定是1。通过这样的方式我们能够很快地确定一个WEB页面是否已被我们收录。

一. 算法描述

一个empty bloom filter是一个有m bits的bit array，每一个bit位都初始化为0。并且定义有k个不同的hash function，每个都以uniform random distribution将元素hash到m个不同位置中的一个。在下面的介绍中n为元素数，m为布隆过滤器或哈希表的slot数，k为布隆过滤器重hash function数。

为了add一个元素，用k个hash function将它hash得到bloom filter中k个bit位，将这k个bit位置1。

为了query一个元素，即判断它是否在集合中，用k个hash function将它hash得到k个bit位。若这k bits全为1，则此元素在集合中；若其中任一位不为1，则此元素比不在集合中(因为如果在，则在add时已经把对应的k个bits位置为1)。

不允许remove元素，因为那样的话会把相应的k个bits位置为0，而其中很有可能有其他元素对应的位。因此remove会引入false negative，这是绝对不被允许的。

当k很大时，设计k个独立的hash function是不现实并且困难的。对于一个输出范围很大的hash function(例如MD5产生的128 bits数)，如果不同bit位的相关性很小，则可把此输出分割为k份。或者可将k个不同的初始值(例如0,1,2, … ,k-1)结合元素，feed给一个hash function从而产生k个不同的数。

当add的元素过多时，即n/m过大时(n是元素数，m是bloom filter的bits数)，会导致false positive过高，此时就需要重新组建filter，但这种情况相对少见。

二. 时间和空间上的优势

当可以承受一些误报时，布隆过滤器比其它表示集合的数据结构有着很大的空间优势。例如self-balance BST, tries, hash table或者array, chain，它们中大多数至少都要存储元素本身，对于小整数需要少量的bits，对于字符串则需要任意多的bits(tries是个例外，因为对于有相同prefixes的元素可以共享存储空间)；而chain结构还需要为存储指针付出额外的代价。对于一个有1%误报率和一个最优k值的布隆过滤器来说，无论元素的类型及大小，每个元素只需要9.6 bits来存储。这个优点一部分继承自array的紧凑性，一部分来源于它的概率性。如果你认为1%的误报率太高，那么对每个元素每增加4.8 bits，我们就可将误报率降低为原来的1/10。add和query的时间复杂度都为O(k)，与集合中元素的多少无关，这是其他数据结构都不能完成的。

如果可能元素范围不是很大，并且大多数都在集合中，则使用确定性的bit array远远胜过使用布隆过滤器。因为bit array对于每个可能的元素空间上只需要1 bit，add和query的时间复杂度只有O(1)。注意到这样一个哈希表(bit array)只有在忽略collision并且只存储元素是否在其中的二进制信息时，才会获得空间和时间上的优势，而在此情况下，它就有效地称为了k=1的布隆过滤器。

而当考虑到collision时，对于有m个slot的bit array或者其他哈希表(即k=1的布隆过滤器)，如果想要保证1%的误判率，则这个bit array只能存储m/100个元素，因而有大量的空间被浪费，同时也会使得空间复杂度急剧上升，这显然不是space efficient的。解决的方法很简单，使用k>1的布隆过滤器，即k个hash function将每个元素改为对应于k个bits，因为误判度会降低很多，并且如果参数k和m选取得好，一半的m可被置为为1，这充分说明了布隆过滤器的space efficient性。

三. 举例说明

以垃圾邮件过滤中黑白名单为例：现有1亿个email的黑名单，每个都拥有8 bytes的指纹信息，则可能的元素范围为   ，对于bit array来说是根本不可能的范围，而且元素的数量(即email列表)为  ，相比于元素范围过于稀疏，而且还没有考虑到哈希表中的collision问题。

若采用哈希表，由于大多数采用open addressing来解决collision，而此时的search时间复杂度为 ：

即若哈希表半满(n/m = 1/2)，则每次search需要probe 2次，因此在保证效率的情况下哈希表的存储效率最好不超过50%。此时每个元素占8 bytes，总空间为：

若采用Perfect hashing(这里可以采用Perfect hashing是因为主要操作是search/query，而并不是add和remove)，虽然保证worst-case也只有一次probe，但是空间利用率更低，一般情况下为50%，worst-case时有不到一半的概率为25%。

若采用布隆过滤器，取k=8。因为n为1亿，所以总共需要  被置位为1，又因为在保证误判率低且k和m选取合适时，空间利用率为50%(后面会解释)，所以总空间为：

所需空间比上述哈希结构小得多，并且误判率在万分之一以下。

四. 误判概率的证明和计算

假设布隆过滤器中的hash function满足simple uniform hashing假设：每个元素都等概率地hash到m个slot中的任何一个，与其它元素被hash到哪个slot无关。若m为bit数，则对某一特定bit位在一个元素由某特定hash function插入时没有被置位为1的概率为：

则k个hash function中没有一个对其置位的概率为：

如果插入了n个元素，但都未将其置位的概率为：

则此位被置位的概率为：

现在考虑query阶段，若对应某个待query元素的k bits全部置位为1，则可判定其在集合中。因此将某元素误判的概率为：

由于 ，并且   当m很大时趋近于0，所以

从上式中可以看出，当m增大或n减小时，都会使得误判率减小，这也符合直觉。

现在计算对于给定的m和n，k为何值时可以使得误判率最低。设误判率为k的函数为：

设   ， 则简化为

，两边取对数

  , 两边对k求导

下面求最值

 

 

 

 

 

 

 

因此，即当   时误判率最低，此时误判率为：

可以看出若要使得误判率≤1/2，则：

这说明了若想保持某固定误判率不变，布隆过滤器的bit数m与被add的元素数n应该是线性同步增加的。

五. 设计和应用布隆过滤器的方法

应用时首先要先由用户决定要add的元素数n和希望的误差率P。这也是一个设计完整的布隆过滤器需要用户输入的仅有的两个参数，之后的所有参数将由系统计算，并由此建立布隆过滤器。

系统首先要计算需要的内存大小m bits:

再由m，n得到hash function的个数：

至此系统所需的参数已经备齐，接下来add n个元素至布隆过滤器中，再进行query。

根据公式，当k最优时：

因此可验证当P=1%时，存储每个元素需要9.6 bits：

而每当想将误判率降低为原来的1/10，则存储每个元素需要增加4.8 bits：

这里需要特别注意的是，9.6 bits/element不仅包含了被置为1的k位，还把包含了没有被置为1的一些位数。此时的

才是每个元素对应的为1的bit位数。

   从而使得P(error)最小时，我们注意到：

 中的   ，即

此概率为某bit位在插入n个元素后未被置位的概率。因此，想保持错误率低，布隆过滤器的空间使用率需为50%。

对于 BloomFilter 的概念和原理，以及误报率等计算方法都一个理性的认识了。在这里，我们将用 Java'实现一个简单的 BloomFilter 。

package pri.xiaoye.day1029;

import java.io.Serializable;

import java.nio.charset.Charset;

import java.security.MessageDigest;

import java.security.NoSuchAlgorithmException;

import java.util.BitSet;

import java.util.Collection;

/**

* 布隆过滤器的实现类

* 定义：http://en.wikipedia.org/wiki/Bloom_filter

*

* @param

* E指定了要插入过滤器中的元素的类型，eg，String Integer

* @author Magnus Skjegstad

* @translator xiaoye

*/

public class BloomFilter implements Serializable {

private static final long serialVersionUID = -2326638072608273135L;

private BitSet bitset;

private int bitSetSize;

private double bitsPerElement;

private int expectedNumberOfFilterElements;//能够添加的元素的最大个数

private int numberOfAddedElements;//过滤器容器中元素的实际数量

private int k; // 哈希函数的个数

static final Charset charset = Charset.forName("UTF-8");//存储哈希值的字符串的编码方式

static final String hashName = "MD5"; //在大多数情况下，MD5提供了较好的散列精确度。如有必要，可以换成 SHA1算法

static final MessageDigest digestFunction;//MessageDigest类用于为应用程序提供信息摘要算法的功能，如 MD5 或 SHA 算法

static { // 初始化 MessageDigest 的摘要算法对象

MessageDigest tmp;

try {

tmp = java.security.MessageDigest.getInstance(hashName);

} catch (NoSuchAlgorithmException e) {

tmp = null;

}

digestFunction = tmp;

}

/**

* 构造一个空的布隆过滤器. 过滤器的长度为c*n

* @param c

* 表示每个元素占有多少位

* @param n

* 表示过滤器能添加的最大元素数量

* @param k

* 表示需要使用的哈希函数的个数

*/

public BloomFilter(double c, int n, int k) {

this.expectedNumberOfFilterElements = n;

this.k = k;

this.bitsPerElement = c;

this.bitSetSize = (int) Math.ceil(c * n);

numberOfAddedElements = 0;

this.bitset = new BitSet(bitSetSize);

}

/**

* 构造一个空的布隆过滤器。最优哈希函数的个数将由过滤器的总大小和期望元素个数来确定。

*

* @param bitSetSize

* 指定了过滤器的总大小

* @param expectedNumberOElements

* 指定了过滤器能添加的最大的元素数量

*/

public BloomFilter(int bitSetSize, int expectedNumberOElements) {

this(bitSetSize / (double) expectedNumberOElements, expectedNumberOElements, (int) Math.round((bitSetSize / (double) expectedNumberOElements)* Math.log(2.0)));

}

/**

* 通过指定误报率来构造一个过滤器。

* 每个元素所占的位数和哈希函数的数量会根据误报率来得出。

*

* @param falsePositiveProbability

* 所期望误报率.

* @param expectedNumberOfElements

* 要添加的元素的数量

*/

public BloomFilter(double falsePositiveProbability, int expectedNumberOfElements) {

this(Math.ceil(-(Math.log(falsePositiveProbability) / Math.log(2)))/ Math.log(2), // c = k/ln(2)

expectedNumberOfElements,

(int) Math.ceil(-(Math.log(falsePositiveProbability) / Math.log(2)))); // k = ln(2)m/n

}

/**

* 根据旧过滤器的数据，重新构造一个新的过滤器

*

* @param bitSetSize

* 指定了过滤器所需位的大小

* @param expectedNumberOfFilterElements

* 指定了过滤器所能添加的元素的最大数量

* to contain.

* @param actualNumberOfFilterElements

* 指定了原来过滤器的数据的数量

* filterData BitSet.

* @param filterData

* 原有过滤器中的BitSet对象

*/

public BloomFilter(int bitSetSize, int expectedNumberOfFilterElements,

int actualNumberOfFilterElements, BitSet filterData) {

this(bitSetSize, expectedNumberOfFilterElements);

this.bitset = filterData;

this.numberOfAddedElements = actualNumberOfFilterElements;

}

/**

* 根据字符串的内容生成摘要

*

* @param val

* 字符串的内容

* @param charset

* 输入数据的编码方式

* @return 输出为一个long类型

*/

public static long createHash(String val, Charset charset) {

return createHash(val.getBytes(charset));

}

/**

* 根据字符串内容生成摘要

*

* @param val

* 指定了输入的字符串。默认的编码为 UTF-8

* @return 输出为一个long类型

*/

public static long createHash(String val) {

return createHash(val, charset);

}

/**

* 根据字节数组生成摘要

*

* @param data

* 输入数据

* @return 输出为long类型的摘要

*/

public static long createHash(byte[] data) {

long h = 0;

byte[] res;

synchronized (digestFunction) {

res = digestFunction.digest(data);

}

for (int i = 0; i < 4; i++) {

h <<= 8;

h |= ((int) res[i]) & 0xFF;

}

return h;

}

/**

* 重写equals方法

*/

@Override

public boolean equals(Object obj) {

if (obj == null) {

return false;

}

if (getClass() != obj.getClass()) {

return false;

}

final BloomFilter other = (BloomFilter) obj;

if (this.expectedNumberOfFilterElements != other.expectedNumberOfFilterElements) {

return false;

}

if (this.k != other.k) {

return false;

}

if (this.bitSetSize != other.bitSetSize) {

return false;

}

if (this.bitset != other.bitset

&& (this.bitset == null || !this.bitset.equals(other.bitset))) {

return false;

}

return true;

}

/**

* 重写了hashCode方法

*

*/

@Override

public int hashCode() {

int hash = 7;

hash = 61 * hash + (this.bitset != null ? this.bitset.hashCode() : 0);

hash = 61 * hash + this.expectedNumberOfFilterElements;

hash = 61 * hash + this.bitSetSize;

hash = 61 * hash + this.k;

return hash;

}

/**

* 根据最大元素数量和过滤器的大小来计算误报率。

* 方法的返回值为误报率。如果插入的元素个数小于最大值，则误报率会比返回值要小。

*

* @return 期望的误报率.

*/

public double expectedFalsePositiveProbability() {

return getFalsePositiveProbability(expectedNumberOfFilterElements);

}

/**

* 通过插入的元素数量和过滤器容器大小来计算实际的误报率。

*

* @param numberOfElements

* 插入的元素的个数.

* @return 误报率.

*/

public double getFalsePositiveProbability(double numberOfElements) {

// (1 - e^(-k * n / m)) ^ k

return Math.pow((1 - Math.exp(-k * (double) numberOfElements

/ (double) bitSetSize)), k);

}

/**

* 通过实际插入的元素数量和过滤器容器大小来计算实际的误报率。

*

* @return 误报率.

*/

public double getFalsePositiveProbability() {

return getFalsePositiveProbability(numberOfAddedElements);

}

/**

* 返回哈希函数的个数 k

*

* @return k.

*/

public int getK() {

return k;

}

/**

* 清空过滤器元素

*/

public void clear() {

bitset.clear();

numberOfAddedElements = 0;

}

/**

* 向过滤器中添加元素。

* 添加的元素的toString()方法将会被调用，返回的字符串作为哈希函数的输出。

*

* @param element

* 要添加的元素

*/

public void add(E element) {

long hash;

String valString = element.toString();

for (int x = 0; x < k; x++) {

hash = createHash(valString + Integer.toString(x));

hash = hash % (long) bitSetSize;

bitset.set(Math.abs((int) hash), true);

}

numberOfAddedElements++;

}

/**

* 添加一个元素集合到过滤器中

*

* @param c

* 元素集合.

*/

public void addAll(Collection extends E> c) {

for (E element : c)

add(element);

}

/**

* 用来判断元素是否在过滤器中。如果已存在，返回 true。

*

* @param element

* 要检查的元素.

* @return 如果估计该元素已存在，则返回true

*/

public boolean contains(E element) {

long hash;

String valString = element.toString();

for (int x = 0; x < k; x++) {

hash = createHash(valString + Integer.toString(x));

hash = hash % (long) bitSetSize;

if (!bitset.get(Math.abs((int) hash)))

return false;

}

return true;

}

/**

* 判断一个集合中的元素是否都在过滤器中。

*

* @param c

* 要检查的元素集合

* @return 如果集合所有的元素都在过滤器中，则返回true。

*/

public boolean containsAll(Collection extends E> c) {

for (E element : c)

if (!contains(element))

return false;

return true;

}

/**

* 得到某一位的值

*

* @param bit

* bit的位置.

* @return 如果该位被设置，则返回true。

*/

public boolean getBit(int bit) {

return bitset.get(bit);

}

/**

* 设置过滤器某一位的值

*

* @param bit

* 要设置的位置.

* @param value

* true表示已经成功设置。false表示改为被清除。

*/

public void setBit(int bit, boolean value) {

bitset.set(bit, value);

}

/**

* 返回存放信息的位数组.

*

* @return 位数组.

*/

public BitSet getBitSet() {

return bitset;

}

/**

* 得到过滤器中位数组个大小。

*

* @return 数组大小.

*/

public int size() {

return this.bitSetSize;

}

/**

* 返回已添加的元素的个数

*

* @return 元素个数.

*/

public int count() {

return this.numberOfAddedElements;

}

/**

* 得到能添加的元素的最大数量

*

* @return 最大数量.

*/

public int getExpectedNumberOfElements() {

return expectedNumberOfFilterElements;

}

/**

* 得到每个元素占用的位的个数的期望值

*

* @return 每个元素占用的位数

*/

public double getExpectedBitsPerElement() {

return this.bitsPerElement;

}

/**

* 得到每个元素占用位数的实际值

*

* @return 每个元素占用的位数.

*/

public double getBitsPerElement() {

return this.bitSetSize / (double) numberOfAddedElements;

}

}